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4 mar 2021

2.1. INTEGRALES DE PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS CON DIFERENTE ARGUMENTO

UNIDAD 2: METODOS DE INTEGRACION

INTEGRALES DE PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS CON DIFERENTE ARGUMENTO


En las secciones anteriores se abordaron las integrales en las que se utilizaban productos de funciones trigonométricas con un mismo ángulo. ¿Qué pasaría si los factores de funciones trigonométricas tuvieran diferentes argumentos (ángulos)? Esto ocurre en muchos problemas científicos y de ingeniería. Un recurso matemático que es extremadamente útil para modelar algunas funciones es la serie de Fourier, que es una suma infinita de ondas de seno. En términos simples, una función   puede ser modelada como:

S(x)=a1sinx+a2sin2x+a3sin3x⋯=∑n=1∞ansinnx.

Los pesos 
an
  reflejan qué frecuencias son las más prominentes en la función modelada  .Una de las características claves de las series de Fourier es la “ortogonalidad” de cada una de las funciones seno, definidas como   con k≠m


Fórmulas trigonométricas por aplicar

\displaystyle \sin{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}

\displaystyle \sin{mu} \sin{nu} = -\frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}

\displaystyle \cos{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}

\displaystyle \cos{mu} \sin{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} - \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}

Fórmulas de integración directa

\displaystyle \int{\sin{mu} \cos{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} - \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C

\displaystyle \int{\sin{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C

\displaystyle \int{\cos{mu} \cos{nu} \, du} = \frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C

\displaystyle \int{\cos{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C




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