CALCULO INTEGRAL: DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA II

1.6. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

La integral definida puede utilizarse para determinar el área neta bajo una función curva. El teorema del valor medio para integrales definidas solo nos dice que siempre hay un rectángulo con la misma área y ancho, además la parte superior del rectángulo intersecta la función.

Si tenemos una función definida en un intervalo [a,b], el área limitada por la función y los rectas x=a y x=b es la siguiente:

Pues bien, existe un punto c, entre los puntos a y b, donde la función en ese punto tiene un valor de f(c):

Se puede formar un rectángulo cuya base es la longitud del intervalo [a,b], es decir, b-a y la altura es la longitud correspondiente al valor de la función en el punto c, es decir f(c)

El área de este rectángulo es igual al área encerrada por la función y los puntos de abcisa a y b, por lo que:

Donde (b-a).f(c) corresponde al área del triángulo y f(c) corresponde al valor medio de la función f(x) en ese intervalo (o también lo puedes encontrar como altura media) y el punto c es el punto donde se alcanza dicho valor.

1.7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral ${F(x)}$ de la función continua ${f(x)}$ es la propia ${f(x)}$ .
${F'(x)=f(x)}$

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Ejemplo:

Hallar la derivada de

${F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}$

1Notamos que ${t=x}$ , por lo que su diferencial ${dt = dx}$

2Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

${F'(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}}$

1.8. METODO DE SUSTITUCIÓN

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Ejemplo de un sistema:

${\begin{array}{rcl} 3 x + 2 y = 1 \\ x - 5 y = 6 \end{array}$

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( $x$ e $y$ .

consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, $x$ ) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, $y$ . Una vez resuelta, calculamos el valor de $x$ sustituyendo el valor de $y$ que ya conocemos.

1.9. INTEGRACION POR PARTES

La fórmula de la integración por partes es

$\displaystyle \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$

Observemos que tenemos que derivar $u$ e integrar $v'$ , por lo que será conveniente que la integral de $v'$ sea sencilla.
En general, las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como $u$ . Mientras que las funciones exponenciales, seno y coseno se eligen como $v'$ .

Deducción de la fórmula

Supongamos que tenemos las funciones $u(x)$ y $v(x)$ . Entonces su derivada está dada por
$\displaystyle \left[ u(x) \cdot v(x) \right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos

$\begin{align} u(x) \cdot v(x) & = \int{\left[ u(x) \cdot v(x) \right]'}dx\\& = \int{\left( u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \right)}dx\\& = \int{u'(x)v(x)}dx + \int{u(x)v'(x)}dx\end{align}$

Luego, si pasamos $\int{u'(x)v(x)}dx$ al lado izquierdo, obtenemos
$\displaystyle \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$
que es la fórmula que buscábamos

1.10. INTEGRALES QUE INCLUYEN POTENCIAS DE SENO Y COSENO

La potencia del seno es impar y positiva. En este caso conservamos un factor seno y se pasan los restantes factores a coseno:

Veremos un método para la resolución de integrales cuyo integrando es una potencia de una función seno o coseno ó el producto de estas.
Considere la integral de la forma

Ejemplo:

La potencia del coseno es impar y positiva. En este caso conservamos un factor coseno y se pasan los restantes factores a seno:

Ejemplo:

Las potencias del seno y del coseno son impares y positivas. En este caso conservamos un factor del seno o del coseno y se pasan los restantes factores al seno o al coseno:

Ejemplo:

1.11. INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE

La potencia de la secante es par y positiva (2n) conservamos un factor de sec²x y se usa la fórmula sec²x = 1 + tg²x para expresar los demás factores en términos de tg x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) conservamos un factor de sec x·tg x y se usa la fórmula tg²x = sec²x - 1 para expresar los demás factores en términos de sec x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es par y positiva (2m) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

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DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA II

1.6. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

1.7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral ${F(x)}$ de la función continua ${f(x)}$ es la propia ${f(x)}$ .
${F'(x)=f(x)}$

1.8. METODO DE SUSTITUCIÓN

Deducción de la fórmula

1.10. INTEGRALES QUE INCLUYEN POTENCIAS DE SENO Y COSENO

Ejemplo:

La potencia del coseno es impar y positiva. En este caso conservamos un factor coseno y se pasan los restantes factores a seno:

Ejemplo:

Las potencias del seno y del coseno son impares y positivas. En este caso conservamos un factor del seno o del coseno y se pasan los restantes factores al seno o al coseno:

Ejemplo:

1.11. INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE

La potencia de la secante es par y positiva (2n) conservamos un factor de sec²x y se usa la fórmula sec²x = 1 + tg²x para expresar los demás factores en términos de tg x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) conservamos un factor de sec x·tg x y se usa la fórmula tg²x = sec²x - 1 para expresar los demás factores en términos de sec x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es par y positiva (2m) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la secante es impar y positiva (2n+1) y no hay tangente se resuelve por partes:

Ejemplo:

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1.8. METODO DE SUSTITUCIÓN

Deducción de la fórmula

1.10. INTEGRALES QUE INCLUYEN POTENCIAS DE SENO Y COSENO

Ejemplo:

La potencia del coseno es impar y positiva. En este caso conservamos un factor coseno y se pasan los restantes factores a seno:

Ejemplo:

Las potencias del seno y del coseno son impares y positivas. En este caso conservamos un factor del seno o del coseno y se pasan los restantes factores al seno o al coseno:

Ejemplo:

1.11. INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTELa potencia de la secante es par y positiva (2n) conservamos un factor de sec2x y se usa la fórmula sec2x = 1 + tg2x para expresar los demás factores en términos de tg x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) conservamos un factor de sec x·tg x y se usa la fórmula tg2x = sec2x - 1 para expresar los demás factores en términos de sec x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es par y positiva (2m) y no hay secante convertimos un factor tg2x en términos de sec2x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) y no hay secante convertimos un factor tg2x en términos de sec2x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la secante es impar y positiva (2n+1) y no hay tangente se resuelve por partes:

Ejemplo:

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1.7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral ${F(x)}$ de la función continua ${f(x)}$ es la propia ${f(x)}$ .
${F'(x)=f(x)}$

1.11. INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE

La potencia de la secante es par y positiva (2n) conservamos un factor de sec²x y se usa la fórmula sec²x = 1 + tg²x para expresar los demás factores en términos de tg x :

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) conservamos un factor de sec x·tg x y se usa la fórmula tg²x = sec²x - 1 para expresar los demás factores en términos de sec x :

La potencia de la tangente es par y positiva (2m) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario: