2.7. INTEGRALES BINOMIAS

2.7. INTEGRALES BINOMIAS

Se trata de integrales de la forma:

que incluye integrales de raíces cuadradas (p = 1/2), de raíces cúbicas (p = 1/3), etc.. Nosotros por comodidad al referirnos a ellas, vamos a hablar de dos tipos:

 

Obsérvese que las integrales de tipo I son las de tipo general pero con a=b=n=1.   Toda integral binómica tipo general debe ser transformada a binómica tipo I para ser integrada.

  En concreto, toda integral binómica tipo general se convirte en tipo I con el cambio:

b xⁿ = a t

Esto lo vamos a ver con un ejemplo, tranformemos a tipo I  la integral:

para ello hacemos el cambio:  

ahora despejamos x y hallamos dx:

y sustituimos en la integral:

donde hemos extraido un 2 del parentesis (2 + 2t)¹/², la integral es de tipo I.

*  Forma de integrar una integral binómica tipo I.

 

  Se procede según los exponentes a y b sean números enteros o no , de acuerdo a los tres casos:

  i) b: entero. Entonces se desarrolla el binomio de Newton,  y se desarrolla en integrales inmediatas.

  ii) b=p/q (no entero),  a: entero. En este caso se utiliza el cambio:

siendo el exponente de z el denominador del cociente p/q.

  iii) b=p/q (no entero),  a: no entero, pero a + b: entero, en este caso se multiplica y divide a la integral por , entonces ésta puede ser expresada:

y a continuación se realiza el cambio:

 

siendo el exponente de z, al igual que ántes, el denominador del cociente p/q.

Veamos algunos ejemplos:

  Ejemplo 26:  Hallemos la integral indefinida:

  Solución:  Se trata del ejemplo que hemos comenzado anteriormente, y que como hemos dicho, con el cambio , queda transformada en integral tipo I:

Esta integral tiene la forma del caso (ii) b=1/2 (no entero),  a=2 (entero), por lo tanto el cambio indicado es:

1 + t = z² 

es decir,   ,  con lo que la integral se convierte en inmediata:

finalmente sustituiremos el valor de z, y en éste el valor de t:        

2.8. SUSTITUCION DE EULER.

El método de sustituciones de Euler se aplica a integrados Racionales que se ajustan a la siguiente expresión: R(x,ax2+b+c−−−−−−−−−√)$R\left(x,\sqrt{a{x}^2+b+c}\right)$. El integrando tiene que estar formado por una fracción, donde se combinan términos en "x$x$" y en  ax2+b+c−−−−−−−−−√$\sqrt{a{x}^2+b+c}$ tanto en el numerador como el denominador. 

2.9. METODO DEL TRAPECIO

Para aproximar la solución de una integral definida se puede utilizar la siguiente estrategia; como la integral definida representa el área bajo la curva, entonces es posible aproximar dicha área a través de un trapecio (n = 1), ver la figura,

por lo que, una aproximación a la integral definida estará dada por,

Donde la expresión del lado derecho es la formula para el área del trapecio. Sin embargo es posible mejorar esta aproximación tomando dos trapecios (n = 2), y para ello se divide el intervalo de integración [a, b], a la mitad para tener, , ver la figura,

Así, que la nueva aproximación a la integral definida será,

 

2.10. METODO DE SIMPSON

Es un método que calcula una integral definida al calcular el área de solapamiento de segmentos parabólicos en el intervalo de integración y luego sumándolos.

Práctica Guiada

Utiliza la regla de Simpson para aproximar ∫121(x+1)2dx para n=4 . Redondea la respuesta a cuatro decimales y compara este valor con el valor exacto de la integral ¿Cuál es el valor esperado para n=4 ?

Solución:

Encontramos cada subintervalo como △x=b−an=2−14=14 .

La aproximación de la integral se calcula así:

El estimado de la integral es 0,1667.

El valor exacto de la integral es: ∫121(x+1)2dx=−1x+1∣∣∣21=16=0.16¯¯¯ .

El error entre estos es 0,00001.

El error esperado al utilizar n=4 :

Para f4(x)=120(x+1)6 , f′′(x)≤120(1+1)6=158=1.875 en el intervalo [1, 2].

Por lo tanto, |ErrorTrapezoidal|≤k(b−a)5180 n4=1.875(1)5180⋅44=0.00004 .

El error real es menor que |ErrorTrapezoidal| .

2.11. METODO DE CUADRATURAS DE GAUSS

La cuadratura de Gauss aproxima el integral de una función en un intervalo [a,b] centrado en cero mediante un cálculo numérico con menos operaciones y evaluaciones de la función. Se representa como una suma ponderada:

$I \cong c_0f(x_0) + c_1f(x_1)$

para la fórmula de dos puntos se tiene obtiene:

$c_0 = c_1 = 1$$x_0 = -\frac{1}{\sqrt{3}}, x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$

para un intervalo de evaluación desplazado en el eje x se requiere convertir los puntos al nuevo rango. Se desplaza el punto cero al centro del intervalo [a,b] y se obtiene:

$x_a = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}x_0$$x_b = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2}x_1$

con lo que el resultado aproximado del integral se convierte en:

$I \cong \frac{b-a}{2}(f(x_a) + f(x_b))$

cuya fórmula es semejante a una mejor aproximación de un trapecio, cuyos promedios de alturas son puntos internos de [a,b], concepto mostrado en la gráfica.