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CALCULO INTEGRAL

Estudiar Calculo Integral, provee de conocimientos en diferentes áreas del campo de las matemáticas, ilustrando conceptos como el calculo en la matemática de los cambios (velocidades y aceleraciones). Ilustra una gran variedad de conceptos que han permitido a científicos, ingenieros y economistas elaborar modelos para situaciones de la vida real. Resaltar las múltiples aplicaciones de calculo integral, como un conjunto de herramientas que se van utilizar en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas. La importancia de estas ciencias en la educación, se basa en que muchos fenómenos de la vida diaria están regidos por estas ciencias.

Ing. Milton Flores Zh. Mgs

Docente Tutor

Email: milton.floresz@ug.edu.ec

Estudiante: Gustavo José Jiménez Gaspar

Facultad: Ingeniería Industrial

Carrera: Sistemas de información

DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA

UNIDAD 1: DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA

1.1. LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

Si ${f(x)}$ es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento ${h}$ de la variable independiente, es el producto ${f'(x)\cdot h}$ .

La diferencial de una función se representa por ${df}$ ó ${dy}$ .

${df=f'(x)\cdot h}$

${dy=f'(x)\cdot dx}$

${f'(x)=tg\alpha = \displaystyle\frac{QR}{PR}=\frac{QR}{h}}$

${QR=f'(x)\cdot h, \ \ \ QR=(dy)_{x=a}}$

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.

1.2. MODELOS BASADOS EN LA DIFERENCIAL Y ANÁLISIS DE ERRORES

1. Proyecto de cálculo diferencial e integral en contexto: En este enfoque se plantea que el cálculo es un lenguaje, una red de conceptos y un conjunto de técnicas. La metodología consiste en el planteamiento de problemas y situaciones reales, el estudiantado trabaja en grupos pequeños. Los problemas se abordan inicialmente con métodos numéricos y con la ayuda de la computadora. Posteriormente, se plantean soluciones analíticas. De esta manera se construyen finalmente los conceptos del cálculo diferencial e integral.
2. Proyecto de debate científico: En este enfoque se introducen los conceptos del cálculo diferencial e integral mediante la presentación de problemas científicos, de este modo, el estudiantado trabaja como si fuese matemático, para ello, debe formular preguntas, hacer conjeturas y realizar discusiones con el resto de pares de la clase.
3. Ingeniería didáctica: Se propone una investigación que consta de tres etapas, a saber, análisis e interpretación de la enseñanza, análisis de las restricciones en la enseñanza; el diseño de una ingeniería didáctica.

1.3.LA NOTACIÓN SUMA

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: " sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n ".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

1.4. AREAS BAJO CURVA

La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Si hacemos mas pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es mas grande y mejor la aproximación al valor del área.

La aproximación al valor del área bajo una curva puede mejorarse tomando rectángulos de aproximación mas estrechos. La idea de la integral es incrementar el número de rectángulos N hacia el infinito, tomando el límite cuando el ancho del rectángulo tiende a cero.

Aunque el concepto de área geométrica es una forma conveniente de visualizar una integral, la idea de la integración es mucho mas general. Cualquier variable física continua puede ser "troceada" en incrementos infinitesimales (elementos diferenciales) de modo que, la suma del producto de ese "ancho" por el valor de la función se acerca a una suma infinita. La integral es una herramienta poderosa para modelar problemas físicos que impliquen cantidades que varíen continuamente.

1.5. LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA II

1.6. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

La integral definida puede utilizarse para determinar el área neta bajo una función curva. El teorema del valor medio para integrales definidas solo nos dice que siempre hay un rectángulo con la misma área y ancho, además la parte superior del rectángulo intersecta la función.

Si tenemos una función definida en un intervalo [a,b], el área limitada por la función y los rectas x=a y x=b es la siguiente:

Pues bien, existe un punto c, entre los puntos a y b, donde la función en ese punto tiene un valor de f(c):

Se puede formar un rectángulo cuya base es la longitud del intervalo [a,b], es decir, b-a y la altura es la longitud correspondiente al valor de la función en el punto c, es decir f(c)

El área de este rectángulo es igual al área encerrada por la función y los puntos de abcisa a y b, por lo que:

Donde (b-a).f(c) corresponde al área del triángulo y f(c) corresponde al valor medio de la función f(x) en ese intervalo (o también lo puedes encontrar como altura media) y el punto c es el punto donde se alcanza dicho valor.

1.7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral ${F(x)}$ de la función continua ${f(x)}$ es la propia ${f(x)}$ .
${F'(x)=f(x)}$

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original.

Ejemplo:

Hallar la derivada de

${F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\, dt}$

1Notamos que ${t=x}$ , por lo que su diferencial ${dt = dx}$

2Aplicando el teorema fundamental del cálculo tenemos

${F'(x)=\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}}$

1.8. METODO DE SUSTITUCIÓN

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Ejemplo de un sistema:

${\begin{array}{rcl} 3 x + 2 y = 1 \\ x - 5 y = 6 \end{array}$

Es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( $x$ e $y$ .

consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo, $x$ ) y sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo, obtendremos una ecuación de primer grado con la otra incógnita, $y$ . Una vez resuelta, calculamos el valor de $x$ sustituyendo el valor de $y$ que ya conocemos.

1.9. INTEGRACION POR PARTES

La fórmula de la integración por partes es

$\displaystyle \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$

Observemos que tenemos que derivar $u$ e integrar $v'$ , por lo que será conveniente que la integral de $v'$ sea sencilla.
En general, las funciones polinómicas, logarítmicas y arcotangente se eligen como $u$ . Mientras que las funciones exponenciales, seno y coseno se eligen como $v'$ .

Deducción de la fórmula

Supongamos que tenemos las funciones $u(x)$ y $v(x)$ . Entonces su derivada está dada por
$\displaystyle \left[ u(x) \cdot v(x) \right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$
Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos

$\begin{align} u(x) \cdot v(x) & = \int{\left[ u(x) \cdot v(x) \right]'}dx\\& = \int{\left( u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \right)}dx\\& = \int{u'(x)v(x)}dx + \int{u(x)v'(x)}dx\end{align}$

Luego, si pasamos $\int{u'(x)v(x)}dx$ al lado izquierdo, obtenemos
$\displaystyle \int u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx$
que es la fórmula que buscábamos

1.10. INTEGRALES QUE INCLUYEN POTENCIAS DE SENO Y COSENO

La potencia del seno es impar y positiva. En este caso conservamos un factor seno y se pasan los restantes factores a coseno:

Veremos un método para la resolución de integrales cuyo integrando es una potencia de una función seno o coseno ó el producto de estas.
Considere la integral de la forma

Ejemplo:

La potencia del coseno es impar y positiva. En este caso conservamos un factor coseno y se pasan los restantes factores a seno:

Ejemplo:

Las potencias del seno y del coseno son impares y positivas. En este caso conservamos un factor del seno o del coseno y se pasan los restantes factores al seno o al coseno:

Ejemplo:

1.11. INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE

La potencia de la secante es par y positiva (2n) conservamos un factor de sec²x y se usa la fórmula sec²x = 1 + tg²x para expresar los demás factores en términos de tg x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) conservamos un factor de sec x·tg x y se usa la fórmula tg²x = sec²x - 1 para expresar los demás factores en términos de sec x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es par y positiva (2m) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

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DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA

i ≤ n

1.5. LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES

Propiedades de la integral definida

DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA II

1.6. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

1.7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral ${F(x)}$ de la función continua ${f(x)}$ es la propia ${f(x)}$ .
${F'(x)=f(x)}$

1.8. METODO DE SUSTITUCIÓN

Deducción de la fórmula

1.10. INTEGRALES QUE INCLUYEN POTENCIAS DE SENO Y COSENO

Ejemplo:

La potencia del coseno es impar y positiva. En este caso conservamos un factor coseno y se pasan los restantes factores a seno:

Ejemplo:

Las potencias del seno y del coseno son impares y positivas. En este caso conservamos un factor del seno o del coseno y se pasan los restantes factores al seno o al coseno:

Ejemplo:

1.11. INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE

La potencia de la secante es par y positiva (2n) conservamos un factor de sec²x y se usa la fórmula sec²x = 1 + tg²x para expresar los demás factores en términos de tg x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) conservamos un factor de sec x·tg x y se usa la fórmula tg²x = sec²x - 1 para expresar los demás factores en términos de sec x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es par y positiva (2m) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la secante es impar y positiva (2n+1) y no hay tangente se resuelve por partes:

Ejemplo:

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DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA

i ≤ n

1.5. LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES

Propiedades de la integral definida

DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA II

1.6. EL TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES

1.7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULOEl teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral de la función continua es la propia .

1.8. METODO DE SUSTITUCIÓN

Deducción de la fórmula

1.10. INTEGRALES QUE INCLUYEN POTENCIAS DE SENO Y COSENO

Ejemplo:

La potencia del coseno es impar y positiva. En este caso conservamos un factor coseno y se pasan los restantes factores a seno:

Ejemplo:

Las potencias del seno y del coseno son impares y positivas. En este caso conservamos un factor del seno o del coseno y se pasan los restantes factores al seno o al coseno:

Ejemplo:

1.11. INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTELa potencia de la secante es par y positiva (2n) conservamos un factor de sec2x y se usa la fórmula sec2x = 1 + tg2x para expresar los demás factores en términos de tg x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) conservamos un factor de sec x·tg x y se usa la fórmula tg2x = sec2x - 1 para expresar los demás factores en términos de sec x :

Ejemplo:

La potencia de la tangente es par y positiva (2m) y no hay secante convertimos un factor tg2x en términos de sec2x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) y no hay secante convertimos un factor tg2x en términos de sec2x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

Ejemplo:

La potencia de la secante es impar y positiva (2n+1) y no hay tangente se resuelve por partes:

Ejemplo:

1.7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la integral ${F(x)}$ de la función continua ${f(x)}$ es la propia ${f(x)}$ .
${F'(x)=f(x)}$

1.11. INTEGRALES QUE CONTIENEN POTENCIAS DE SECANTE Y TANGENTE

La potencia de la secante es par y positiva (2n) conservamos un factor de sec²x y se usa la fórmula sec²x = 1 + tg²x para expresar los demás factores en términos de tg x :

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) conservamos un factor de sec x·tg x y se usa la fórmula tg²x = sec²x - 1 para expresar los demás factores en términos de sec x :

La potencia de la tangente es par y positiva (2m) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario:

La potencia de la tangente es impar y positiva (2m+1) y no hay secante convertimos un factor tg²x en términos de sec²x . Se desarrolla y se repite si es necesario: