CALCULO INTEGRAL: DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA

UNIDAD 1: DIFERENCIAL E INTEGRAL DEFINIDA

1.1. LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

Si ${f(x)}$ es una función derivable, la diferencial de una función correspondiente al incremento ${h}$ de la variable independiente, es el producto ${f'(x)\cdot h}$ .

La diferencial de una función se representa por ${df}$ ó ${dy}$ .

${df=f'(x)\cdot h}$

${dy=f'(x)\cdot dx}$

${f'(x)=tg\alpha = \displaystyle\frac{QR}{PR}=\frac{QR}{h}}$

${QR=f'(x)\cdot h, \ \ \ QR=(dy)_{x=a}}$

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable independiente.

1.2. MODELOS BASADOS EN LA DIFERENCIAL Y ANÁLISIS DE ERRORES

1. Proyecto de cálculo diferencial e integral en contexto: En este enfoque se plantea que el cálculo es un lenguaje, una red de conceptos y un conjunto de técnicas. La metodología consiste en el planteamiento de problemas y situaciones reales, el estudiantado trabaja en grupos pequeños. Los problemas se abordan inicialmente con métodos numéricos y con la ayuda de la computadora. Posteriormente, se plantean soluciones analíticas. De esta manera se construyen finalmente los conceptos del cálculo diferencial e integral.
2. Proyecto de debate científico: En este enfoque se introducen los conceptos del cálculo diferencial e integral mediante la presentación de problemas científicos, de este modo, el estudiantado trabaja como si fuese matemático, para ello, debe formular preguntas, hacer conjeturas y realizar discusiones con el resto de pares de la clase.
3. Ingeniería didáctica: Se propone una investigación que consta de tres etapas, a saber, análisis e interpretación de la enseñanza, análisis de las restricciones en la enseñanza; el diseño de una ingeniería didáctica.

1.3.LA NOTACIÓN SUMA

La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma ) es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.

La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:

Expresión que se lee: " sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n ".

i es el valor inicial, llamado límite inferior.

n es el valor final, llamado límite superior.

Pero necesariamente debe cumplirse que:

i ≤ n

Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:

Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:

1.4. AREAS BAJO CURVA

La formulación del área bajo una curva es el primer paso para desarrollar el concepto de integral. El área bajo la curva formada por el trazo de la función f(x) y el eje x se puede obtener aproximadamente, dibujando rectángulos de anchura finita y altura f igual al valor de la función en el centro del intervalo.

Si hacemos mas pequeño la anchura del rectángulo, entonces el número N es mas grande y mejor la aproximación al valor del área.

La aproximación al valor del área bajo una curva puede mejorarse tomando rectángulos de aproximación mas estrechos. La idea de la integral es incrementar el número de rectángulos N hacia el infinito, tomando el límite cuando el ancho del rectángulo tiende a cero.

Aunque el concepto de área geométrica es una forma conveniente de visualizar una integral, la idea de la integración es mucho mas general. Cualquier variable física continua puede ser "troceada" en incrementos infinitesimales (elementos diferenciales) de modo que, la suma del producto de ese "ancho" por el valor de la función se acerca a una suma infinita. La integral es una herramienta poderosa para modelar problemas físicos que impliquen cantidades que varíen continuamente.

1.5. LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.
La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.
Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):
Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que: