CALCULO INTEGRAL: 2.5 METODO DE SUSTITUCION DEL ANGULO MEDIO.

2.5 METODO DE SUSTITUCION DEL ANGULO MEDIO.

Para integrar funciones que no son inmediatamente integrables a partir de la tabla de integrales que tenemos. Las siguientes sustituciones sirven para simplificar el integrando a una forma inmediatamente integrable:

$\begin{array}{ccc} \hline \text{\textbf{Para:}} & \text{\textbf{Sustituir:}} & \text{\textbf{para obtener:}}\\ \hline \sqrt{a^2 - b^2u^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\sin z & a\,\sqrt{1 - \sin^2 z}\quad =\quad \textcolor{red}{a\cos z}\\~\\ \sqrt{a^2 + b^2u^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\tan z & a\,\sqrt{1 + \tan^2 z}\quad =\quad \textcolor{red}{a\mathrm{sec}\;z}\\~\\ \sqrt{b^2u^2 - a^2} & u = \displaystyle\frac{a}{b}\,\mathrm{sec}\;z & a\,\sqrt{\sec^2 z - 1}\quad =\quad \textcolor{red}{a\tan z}\\ \hline \end{array}$

Debes recordar siempre sustituir $dx$ a partir del cálculo correspondiente para que la diferencial quede en términos de $dz$ .

Ejemplo

Calcula la siguiente integral:

$\begin{equation*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx \end{equation*}$

Empezamos observando que $a^2 = 9$ , lo cual implica que $a = 3$ , y $b^2 = 4$ , es decir, $b = 2$ . Entonces hacemos: $x = (a/b)\,\sin z$ :

$\begin{equation*} \textcolor{red}{x} = \textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\qquad\Rightarrow\qquad \textcolor{blue}{dx} = \textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz} \end{equation*}$

Sustituyendo estos valores en la integral obtenemos:

$\begin{equation*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,\textcolor{red}{x}^2}}{\textcolor{red}{x}}\,\textcolor{blue}{dx} = \int\!{\frac{\sqrt{9 - 4\,\left(\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\right)^2}}{\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}}\,\left(\textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz}\right)} \end{equation*}$

Ahora podemos simplificar dentro del signo de raíz:

$\begin{eqnarray*} \int\!{\frac{\sqrt{9 - 4\,\left(\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}\right)^2}}{\textcolor{red}{\frac{3}{2}\,\sin z}}\,\left(\textcolor{blue}{\frac{3}{2}\,\cos z\,dz}\right)} &=& \int\!\frac{\sqrt{9 - 9\sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz\\ &=& \int\!\frac{3\sqrt{1 - \sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz \end{eqnarray*}$

Pero $1 - \sin^2 z = \cos^2 z$ ,luego,

$\begin{eqnarray*} 3\int\!\frac{\sqrt{1 - \sin^2 z}}{\sin z}\,\cos z\,dz &=& 3\int\!\frac{\cos z}{\sin z}\,\cos z\,dz\\ &=& 3\int\!\frac{\cos^2 z}{\sin z}\,dz\\ &=& 3\int\!\frac{1 - \sin^2 z}{\sin z}\,dz\\ &=& 3\int\!\left(\frac{1}{\sin z} - \sin z\right)\,dz \end{eqnarray*}$

Ahora podemos integrar:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx &=& 3\int\!\frac{1}{\sin z}\,dz - 3\int\!\sin z\,dz\\ &=& 3\int\!\mathrm{csc}\; z\,dz + 3\,\cos z\\ &=& 3\,\ln |\mathrm{csc}\; z - \cot z| + 3\,\cos z + C \end{eqnarray*}$

Hasta aquí hemos obtenido un resultado parcial. Recuerda que inicialmente la integral estaba dada en términos de $x$ , no de $z$ . Por lo que nosotros debemos dar el resultado en términos de $x$ . Para lograr eso, vamos a representar geométricamente la sustitución inicial:

$\begin{equation*} x = \frac{3}{2}\,\sin z\qquad\Rightarrow\qquad \sin z = \frac{2\,x}{3} \textcolor{blue}{= \frac{\text{Cateto opuesto}}{\text{Hipotenusa}}} \end{equation*}$

En el triángulo rectángulo tenemos (para calcular el cateto adyancente al ángulo $z$ hemos utilizado el teorema de Pitágoras):

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Por la forma como se definen las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo tenemos:

$\begin{equation*} \mathrm{csc}\; z = \frac{3}{2\,x},\qquad\cos z = \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{3}\qquad\text{ y }\qquad \cot z = \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x} \end{equation*}$

Entonces, podemos reescribir la solución como:

$\begin{eqnarray*} \int\!\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{x}\,dx &=& 3\,\ln |\mathrm{csc}\; z - \cot z| + 3\,\cos z + C\\ &=& 3\,\ln\left\vert\frac{3}{2\,x} - \frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x}\right\vert + 3\,\left(\frac{\sqrt{9 - 4\,x^2}}{3}\right) + C\\ &=&3\,\ln \left\vert\frac{3 - \sqrt{9 - 4\,x^2}}{2\,x}\right\vert + \sqrt{9 - 4\,x^2} + C \end{eqnarray*}$

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