CALCULO INTEGRAL

2.1. INTEGRALES DE PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS CON DIFERENTE ARGUMENTO

UNIDAD 2: METODOS DE INTEGRACION

INTEGRALES DE PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS CON DIFERENTE ARGUMENTO

En las secciones anteriores se abordaron las integrales en las que se utilizaban productos de funciones trigonométricas con un mismo ángulo. ¿Qué pasaría si los factores de funciones trigonométricas tuvieran diferentes argumentos (ángulos)? Esto ocurre en muchos problemas científicos y de ingeniería. Un recurso matemático que es extremadamente útil para modelar algunas funciones es la serie de Fourier, que es una suma infinita de ondas de seno. En términos simples, una función puede ser modelada como:

S(x)=a1sinx+a2sin2x+a3sin3x⋯=∑n=1∞ansinnx.

Los pesos

reflejan qué frecuencias son las más prominentes en la función modelada .Una de las características claves de las series de Fourier es la “ortogonalidad” de cada una de las funciones seno, definidas como con k≠m

Fórmulas trigonométricas por aplicar

$\displaystyle \sin{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}$

$\displaystyle \sin{mu} \sin{nu} = -\frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}$

$\displaystyle \cos{mu} \cos{nu} = \frac{1}{2} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2} \cos{(m-n)u}$

$\displaystyle \cos{mu} \sin{nu} = \frac{1}{2} \sin{(m+n)u} - \frac{1}{2} \sin{(m-n)u}$

Fórmulas de integración directa

$\displaystyle \int{\sin{mu} \cos{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} - \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C$

$\displaystyle \int{\sin{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C$

$\displaystyle \int{\cos{mu} \cos{nu} \, du} = \frac{1}{2(m+n)} \sin{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \sin{(m-n)u} + C$

$\displaystyle \int{\cos{mu} \sin{nu} \, du} = -\frac{1}{2(m+n)} \cos{(m+n)u} + \frac{1}{2(m-n)} \cos{(m-n)u} + C$

2.2 INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

2.2 INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES HIPERBOLICAS

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones ordinarias.

Las funciones hiperbólicas básicas son:

El seno hiperbólico
$\sinh x$
El coseno hiperbólico
$\cosh x$ de donde podemos derivar la tangente hiperbólica $\tanh x$

Las identidades trigonométricas hiperbólicas formulario más básicas son las siguientes:

2.3. SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

2.3 SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Primer caso. Para el caso de la expresión $\displaystyle \sqrt{a^2-u^2}$ , se realizará la sustitución siguiente utilizando como “u” una nueva variable

$\displaystyle u = a \sin{\beta}$

$du = a \cos{\beta} d\beta$

Segundo caso. Para el caso de la expresión $\displaystyle \sqrt{u^2 - a^2}$ , se realizará la sustitución siguiente utilizando como “u” una nueva variable

$u = a \sec{\beta}$

$du = a \sec{\beta} \tan{\beta} d\beta$

Tercer caso. Para el caso de la expresión $\displaystyle \sqrt{u^2+a^2}$ , se realizará la sustitución siguiente utilizando como $u$ una nueva variable

$u = a \tan{\beta}$

$du = a {\sec}^{2}{\beta} d\beta$

2.4 EL METODO DE FRACCIONES PARCIALES

2.4 EL METODO DE FRACCIONES PARCIALES

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa.

Cuando el ‘denominador’ de la fracción es de primer grado y no está repetido ax + b → A ax + b ;

Una función racional $R(x)$ se define como el cociente de dos funciones racionales enteras, es decir, funciones polinomiales en que la variable no está afectada por exponentes negativos o fraccionarios.

$\displaystyle R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \begin{matrix} \rightarrow \text{Funcion polinomial (numerador)} \\ \quad \rightarrow \text{Funcion polinomial (denominador)} \end{matrix}$

Si el grado del numerador $P(x)$ es igual o mayor que el del denominador $Q(x)$ , se tiene una fracción impropia (racional); entonces, se debe dividir el numerador entre el denominador, para obtener una expresión mixta (un polinomio y una fracción propia).

$\displaystyle \begin{matrix} \text{Fraccion impropia} \\ \text{o racional} \end{matrix} \ \left\{\frac{x^5-5x^3+7x^2-5}{x^3-8} \right. = \underbrace{\overbrace{x^2 - 5}^{\text{Polinomio}} + \overbrace{\frac{15x^2 - 45}{x^3-8}}^{\text{Fraccion propia}}}_{\text{Expresion mixta}}$

El último término es una función reducida (fracción propia) a su más simple expresión, en el cual el grado del numerador $P(x)$ es menor que el grado del denominador $Q(x)$ . Por último, debe integrarse término por término de la expresión mixta (integrar cada término del polinomio y la fracción propia).

Para integrar una expresión diferencial que contenga la fracción racional, por lo general es necesario escribirla como la suma de fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen factorizando el denominador $Q(x)$ como un producto de factores lineales y cuadráticos

Problema. Resolver la siguiente integral indefinida $\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}}$

Solución. De la expresión del integrando, se descompone la función polinomial del denominador

$\displaystyle \frac{1}{x^2-9} = \frac{1}{(x+3)(x-3)}$

$\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x-3)} = \frac{A}{(x+3)} + \frac{B}{(x-3)}$

Esta descomposición en fracciones parciales generó dos coeficientes, $A$ y $B$ , ya que el grado del polinomio del denominador es 2. Se procede al hallazgo de esos coeficientes

$\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x-3)} = \frac{A}{(x+3)} + \frac{B}{(x-3)}$

$\displaystyle 1 = \frac{A}{(x+3)} \cdot (x+3) (x-3) + \frac{B}{(x-3)} \cdot (x+3) (x-3)$

$\displaystyle 1 = A(x-3) + B(x+3)$

$\displaystyle 1 = Ax - 3A + Bx + 3B$

$\displaystyle 1 = (A+B)x + (-3A+3B)$

Se tiene un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, por lo que se tiene que resolver

De la primera ecuación, se despeja $A$

$A = -B$

Sustituyendo el despeje de la primera ecuación en la segunda ecuación, se puede hallar el valor de $B$

$\displaystyle -3A + 3B = 1$

$\displaystyle 3(-A) + 3B = 1$

$\displaystyle 3B + 3B = 1$

$\displaystyle 6B = 1$

$\displaystyle B = \frac{1}{6}$

Regresando al despeje de la primera ecuación y sustituyendo el valor equivalente

$\displaystyle A=-B$

$\displaystyle A = -\frac{1}{6}$

Entonces, sustituyendo el valor equivalente de los coeficientes $A$ y $B$

$\displaystyle \frac{1}{(x+3)(x-3)} = \frac{A}{(x+3)} + \frac{B}{(x-3)} = \frac{-\frac{1}{6}}{x+3} + \frac{\frac{1}{6}}{x-3}$

Regresando un poco más

$\displaystyle \frac{1}{x^2-9} = \frac{1}{(x+3)(x-3)}$

$\displaystyle \frac{1}{x^2-9} = \frac{-\frac{1}{6}}{x+3} + \frac{\frac{1}{6}}{x-3}$

Así que, de la integral del problema, su expresión mixta es

$\displaystyle \int{\frac{1}{x^2-9} dx} = \int{\left(\frac{-\frac{1}{6}}{x+3} + \frac{\frac{1}{6}}{x-3} \right) dx}$

$\displaystyle \int{\frac{1}{x^2-9} dx} = \int{\frac{-\frac{1}{6}}{x+3} dx} + \int{\frac{\frac{1}{6}}{x-3} dx}$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}} = -\frac{1}{6} \int{\frac{dx}{x+3}} + \frac{1}{6} \int{\frac{dx}{x-3}}$

Ambas integrales tienen términos similares, por lo que se puede aplicar el método de sustitución. En la primera integral

Continuando

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x+3}} = \int{\frac{dz}{z}}= \ln{z}+C = \ln{(x+3)}+C$

Y en la segunda integral

donde su resultado es

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x-3}} = \int{\frac{dw}{w}}= \ln{w}+C = \ln{(x-3)}+C$

Regresando y sustituyendo

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}} = -\frac{1}{6} \int{\frac{dx}{x+3}} + \frac{1}{6} \int{\frac{dx}{x-3}}$

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}} = -\frac{1}{6} \ln{(x+3)} + \frac{1}{6} \ln{(x-3)} + C$

Aplicando propiedad de los logaritmos

$\displaystyle \int{\frac{dx}{x^2-9}} = \frac{1}{6} \ln{\left|\frac{x-3}{x-3}\right|} + C$

Finalmente, el resultado es

$\displaystyle \therefore \int{\frac{dx}{x^2-9}} = \frac{1}{6} \ln{\left|\frac{x-3}{x-3}\right|} + C$